vadim_proskurin (vadim_proskurin) wrote in ru_scifi,
vadim_proskurin
vadim_proskurin
ru_scifi

Categories:

Трактат о миниатюрных черных дырах. Часть 1

В научно-фантастической литературе регулярно упоминаются миниатюрные черные дыры, используемые в качестве адского оружия для уничтожения вражеских кораблей и планет. Недавно тема миниатюрных черных дыр всплыла в связи со строительством в институте ЦЕРН сверхмощного ускорителя элементарных частиц, на котором планируется создать миниатюрную черную дыру, так сказать, живьем. Некоторые источники утверждают, что эта черная дыра способна уничтожить Землю, имеются даже два замечательных мультфильма, иллюстрирующих процесс. Пока не буду подробно критиковать их, замечу лишь, что черная дыра, подчиняясь закону всемирного тяготения, должна быстро провалиться к центру Земли и гибель Земли от маленькой черной дыры должна происходить совсем не так зрелищно.

Согласно теории Стивена Хокинга, небольшие черные дыры нестабильны, они теряют материю за счет квантовых эффектов и боевой микроколлапсар массой 14 000 тонн, упомянутый в романе Александра Громова "Властелин пустоты", полностью испарится в течение примерно 6 часов.

Допустим, Хокинг ошибся и никакого испарения материи с поверхности черной дыры в природе не существует. В рамках этой гипотезы рассмотрим некоторые свойства миниатюрных черных дыр.

Начнем с азов, а точнее, с размеров черных дыр. Радиус черной дыры (по-научному - радиус горизонта событий) есть простая функция от массы черной дыры:

R = 2GM/c2

где:
G = 6.67*10-11 - гравитационная постоянная;
M - масса черной дыры;
c - скорость света.

Черная дыра, равная по массе Солнцу, имеет диаметр около 6 км, черная дыра с массой Земли - 18 мм.

"Громовская" черная дыра с массой 14 килотонн будет иметь диаметр 4.15*10-20 м, что примерно в 60 000 раз меньше диаметра протона. Такую черную дыру можно считать точечной частицей, как электрон. Чтобы диаметр черной дыры стал равен диаметру протона, ее масса должна составлять около 877 мегатонн (примерно столько весит 600-700-метровый астероид).

Посмотрим, как будет себя вести миниатюрная черная дыра внутри твердого тела. Возьмем для определенности железо. На электронный газ пока не обращаем внимания. Посчитаем, какой массы должна быть черная дыра, чтобы, оказавшись в кристаллической решетке железа на месте атома, она смогла поглотить соседние атомы.

Согласно закону всемирного тяготения

F = GMm/R2

Отсюда

M = FR2/Gm

В нашем случае
F = 10-9 Н
R = 2.87*10-10 м
m = 9.27*10-26 кг

Подставляем цифирки в формулу и получаем M = 13.3 килотонны.

Т.е. "громовская" черная дыра фактически является минимальной из всех черных дыр, способных поглощать твердую материю непосредственно, путем "выкусывания" атомов из кристаллической решетки. Правда, скорость поглощения материи у такой черной дыры минимальна - будучи неподвижна, она съест шесть ближайших атомов и на этом успокоится. Черная дыра меньшего размера не сделает и того.

Пока мы рассматриваем только гравитационное взаимодействие черной дыры с веществом, но не электромагнитное.

А теперь посмотрим, как миниатюрная черная дыра взаимодействует с газом. Будем считать, что газ идеальный (т.е. достаточно разреженный и недостаточно ионизированный) и что все молекулы в нем одинаковы.

Итак, мы имеем объем V, в котором находятся N одинаковых молекул массы m, каждая из которых равномерно и прямолинейно движется со скоростью v. Считаем, что столкновения молекул происходят достаточно редко (ибо газ не очень плотный), и нагло ими пренебрегаем. Внутри объема газа находится черная дыра массы M. Спрашивается: сколько молекул поглотит черная дыра за время t? Считаем, что интервал времени t достаточно мал, чтобы пренебречь ростом черной дыры за это время.

Чтобы молекулу засосало в черную дыру, молекула должна пересечь "сферу невозвращения" - приблизиться к черной дыре на расстояние R, на котором скорость v является второй космической скоростью для данной черной дыры. Мы игнориуем направление движения молекулы, а также то, что скорость молекулы увеличивается при приближения к черной дыре. Эти ошибки должны примерно компенсировать друг друга. Вторая космическая скорость равна

v = sqrt (2GM/R)

Отсюда

R = 2GM/v2

За время t молекула проходит путь vt. Представим себе цилиндр длиной vt и радиусом R. Чтобы молекулу засосало в черную дыру, в рамках рассматриваемой модели необходимо и достаточно, чтобы черная дыра попала в этот цилиндр либо в одно из двух полушарий на концах цилиндра, но они очень маленькие и мы ими пренебрегаем. Объем цилиндра равен

πR2H

где
R – радиус цилиндра
H – высота цилиндра

В нашем случае объем цилиндра

V0 = πR2vt = 4πG2M2t/v3

Вероятность засасывания молекулы в черную дыру за время t есть

P(t) = V0/V = 4πG2M2t/(Vv3)

Среднее число молекул, засосанных в черную дыру за время t равно

n(t) = NP(t) = 4πNG2M2t/(Vv3)

Посмотрим, как "громовская" черная дыра будет засасывать земной воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре.

V = 1 м3
N = mвсего воздуха/mмолекулы воздуха = 1.23/(29*mатомной единицы массы) = 0.042/1.66*10-27 = 2.56*1025
M = 1.4*107 кг
t = 1 сек
температура T = +20C = 293K

Среднюю скорость молекул посчитаем исходя из

mv2/2 = kT

где
m – масса молекулы
k = 1.38*10-23 - постоянная Больцмана

Получаем

v = sqrt (2kT/m) = 410 м/с.
Можно было не рассчитывать, а сразу в гугле поискать :-)

Итак

n(t) = 4πNG2M2t/(Vv3) = 4*3.14*2.56*1025*(6.67*10-11)2*(1.4*107)2/4103 =
3.22*1026*4.45*10-21*1.96*1014/(6.89*107) = 2.81*1020/(6.89*107) = 4.08*1012 молекул в секунду

В килограммах это будет

n(t)*mмолекулы воздуха = 4.08*1012*29*1.66*10-27 = 1.96*10-13 кг, т.е., за 5 секунд черная дыра всасывает в себя один нанограмм воздуха. Один кубометр воздуха будет поглощен за 158 лет.

Если учесть, что R = 2GM/v2 = 2*6.67*10-11*1.4*107/4102 = 1.11*10-8 м, т.е. 11.1 нанометров – неудивительно.

Теперь посчитаем то же самое для воды при комнатной температуре.Считать жидкость разреженным газом – идея странная, но более адекватную модель калькулятор не осилит.

V = 1 м3
N = 1000/(18*1.66*10-27) = 3.34*1028
v = 520 м/с.
n(t) = 2.61*1015 молекул в секунду, т.е. в 640 раз больше, чем для воздуха.

Учитывая, что молекула воды в 1.61 раз легче, получаем, что за секунду черная дыра всасывает около 80 нанограммов воды. За год черная дыра всосет в себя 2.45 грама.

Эта оценка, конечно, занижена, поскольку не принимается во внимание "заталкивание" молекулами жидкости своих соседей в черную дыру. Попробуем дать другую, завышенную оценку.

Будем считать, что жидкость непрерывно протекает через сферу невозвращения со скоростью теплового движения молекул, т.е. у всех молекул, приближающихся к сфере невозвращения снаружи, вектор скорости направлен точно к центру сферы. В этом случае за единицу времени внутрь сферы втечет V(t) = vtS кубометров жидкости, где S – площадь сферы.

S = 4πR2 = 16πG2M2/v4

V(t) = 16πG2M2t/v3 = 16*3.14*4.45*10-21*1.96*1014/(1.41*108) = 3.11*10-13 м3/сек. Т.е. в данной модели за секунду 14-килотонная черная дыра засасывает 311 нанограммов воды. Всего в 4 раза больше, чем при заниженной оценке.

Таким образом, поглощение черной дырой жидкости – процесс заметно более быстрый, чем поглощение газов и твердых тел, но не настолько быстрый, как обычно описывается в научной фантастике. Попав в жидкость, черная дыра не производит визуально заметных эффектов в течение многих тысячелетий. Еще раз замечу, что пока речь идет только о гравитационных эффектах, т.е. непосредственно о поглощении окружающей материи.

Напоследок рассмотрим еще один интересный случай – недра звезды. Как поведет себя миниатюрная черная дыра, сброшенная Чорным Властелином на звезду? Считаем плазму обычным газом, от электромагнитных эффектов по-прежнему абстрагируемся.

V = 1 м3 (по-прежнему)
N = ρV/mатома водорода = 1.5*105/(1.66*10-27) = 9.04*1031
v = sqrt (2kT/m) = 499 км/с (водород при температуре 15 000 000К)
n(t) = 4πNG2M2t/(Vv3) = 4*3.14*9.04*1031*(6.67*10-11)2*(1.4*107)2/4990003 =
1.14*1033*4.45*10-21*1.96*1014/(1.24*1017) = 8.02*109 атомов в секунду.

Это настолько мало, что нет даже смысла переводить в доли грамма. Несмотря на огромную плотность вещества в звездных недрах, еще более огромная тепловая скорость атомов делает черную дыру практически бессильной – чтобы атом провалился в черную дыру, он должен фактически врезаться в нее, иначе он улетит прочь быстрее, чем черная дыра успеет его проглотить.

Итак, если рассматривать только гравитационное притяжение миниатюрных черных дыр, мы получаем, что при взаимодействии с плотной материей скорость поглощения материи черной дырой будет много меньше, чем это обычно описывается в научной фантастике. Для поглощения звезды, планеты или газового облака миниатюрной черной дырой потребуется астрономическое время.

Во второй части трактата будут рассмотрены электромагнитные аспекты взаимодействия миниатюрной черной дыры с плотной материей если в комментариях не будет доминировать "аффтар выпий йаду".
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

  • 48 comments