vadim_proskurin (vadim_proskurin) wrote in ru_scifi,
vadim_proskurin
vadim_proskurin
ru_scifi

Category:
  • Music:

Трактат о чорных дырах, часть 3

Посмотрим, что происходит с маленькой черной дырой, когда она движется сквозь плотную материю. Для начала рассмотрим газ.

Как было показано в первой части, неподвижная черная дыра засасывает газ с интенсивностью

m(t) = 4πρG2M2t/(vмолекул3)

(формула немного перефразирована, вместо mмолекулыN/V написано ρ – плотность газа)

vмолекул здесь есть средняя, а точнее, наиболее вероятная, скорость молекул относительно черной дыры. Для неподвижной черной дыры это скорость теплового движения молекул газа, для черной дыры, движущейся со скоростью vчд, cреднюю скорость vмолекул можно получить, подставив в формулы распределения Максвелла vтепл - vчд вместо v и решив соответствующие уравнения.

Забегая вперед, заметим, однако, что в большинстве "практически значимых" случаев скорость черной дыры будет много больше скорость теплового движения молекул газа и потому температура поглощаемого газа не окажет существенного влияния на интенсивность поглощения газа черной дырой. Таким образом, далее везде будем считать, что vмолекул = vчд и

m(t) = 4πρG2M2t/(vчд3)

Теперь перейдем к динамике поглощения черной дырой твердого тела. Как было показано в первой части, неподвижная черная дыра поглощает молекулы/атомы твердого вещества в радиусе

R = sqrt(GMm/F)

где
G – гравитационная постоянная
M – масса черной дыры
m – масса молекулы (или атома) твердого тела
F – сила, необходимая для выдергивания молекулы (или атома) из кристаллической решетки

Заметим, что радиус поглощения твердой материи возрастает как квадратный корень массы черной дыры, в то время как радиус самой черной дыры прямо пропорционален ее массе. Т.е. черные дыры, большие некоторой критической массы, поглощают твердую материю прямо в твердом виде, без предварительного расщепления на отдельные молекулы или атомы. Эта критическая масса получается из уравнения

sqrt(GMm/F) = 2GM/c2

Решая, получаем

M = mc4/4GF

Для железа (m = 9.27*10-26 кг, F = 10-9 Н) получаем M = 2.81*1027кг – примерно 1.5 массы Юпитера, R = 4.17 м. Т.е. небольшие черные дыры поглощают твердую материю в, так сказать, переваренном состоянии.

Рассмотрим теперь, все ли атомы, вырванные притяжением черной дыры из кристаллической решетки, будут засосаны в черную дыру. После разрушения кристаллической решетки притяжением черной дыры твердое вещество превращается в газ (точнее, в плазму), поэтому мы можем применить формулу для газа из первой части трактата:

R = 2GM/v2

Если черная дыра движется много быстрее скорости теплового движения молекул (или атомов), v здесь – скорость черной дыры. Посмотрим, начиная с какой критической скорости черная дыра перестает заглатывать все атомы, вырванные ее притяжением из кристаллической решетки. Решая уравнение

sqrt(GMm/F) = 2GM/v2

получаем

v = корень_4_степени(4GMF/m)

Для 14-килотонной черной дыры, летящей сквозь кристаллическое железо, получаем v = 2.52 км/с. Совсем немного. Миниатюрная черная дыра, проваливающаяся сквозь землю, набирает такую скорость на глубине примерно 150 км.

К этому моменту у нас есть все формулы, необходимые, чтобы рассчитать процессы, происходящие в ходе падения миниатюрной черной дыры к центру планеты.

Итак, на поверхности Земли откуда ни возьмись появилась маленькая черная дыра, почему-то не испускающая излучения Хокинга, и начала пожирать материю. На поверхности черная дыра долго не удержится, а начнет проваливаться вниз, засасывая в себя окружающие атомы и проваливаясь в получившуюся дырку. Долетев до центра Земли, черная дыра по инерции полетит дальше, долетит почти до поверхности и полетит обратно, совершая затухающие колебания.

Детально рассчитать этот процесс я не осилил – черная дыра растет, ускорение свободного падения падает и появляются дифференциальные уравнения, вроде не очень сложные, но все равно неприятные. А чтобы расчеты стали вычислимыми в экселе, модель приходится упрощать настолько, что результаты начинают вызывать сомнения.

Поразмыслив, я решил попробовать решить задачу приближенно-численно в экселе. Приведу описание таблицы дабы читатели могли проверить расчеты и указать, где я проврался.

Первую строчку резервируем под заголовки столбцов, строчки 2-101 забиваем цифирками.

Столбец A – цифирки 1, 0.99, далее автозаполняем до 0. Пригодится в формулах.

Столбец B – высота H текущего положения черной дыры над центром Земли. В B2 вбиваем 6380000 (радиус Земли), в B3 – B$2*A3, далее автозаполняем.

Столбец C – ускорение g свободного падения на высоте H. C2 = 9.81, C3 = C$2*A3, далее автозаполняем.

Столбец D – масса черной дыры в верхней точке участка. D2 = "громовские" 14000000, D3 = D2+E2, далее автозаполняем.

Столбец E – масса, проглоченная черной дырой за время прохождения участка. E2= 3.14*5515*B$2/100*6.67E-11*D2*9.27E-26/1E-9, E3 = 3.14*5515*B$2/100*МИН(0.0000000000667*D3*9.26E-26/0.000000001;СТЕПЕНЬ(2*0.0000000000667*D3/F3/F3; 2)), далее автозаполняем.

Столбец F – скорость черной дыры в верхней точке соответствующего участка. Считаем, что на всем участке ускорение свободного падения одинаково и равно реальному ускорению свободного падения в верхней точке участка. F2 = 0, F3=КОРЕНЬ(2*C2*B$2/100)*D2/(D2+E2) – учитываем тормозящее действие поглощенной массы, F4=F3+КОРЕНЬ(2*C2*B$2/100)*D2/(D2+E2), далее автозаполняем.

Столбец G – время эксперимента. G2 = B$2/100/(F2+F3), G3 = G2+ B$2/100/(F2+F3), далее автозаполняем.

Видим, что полет черной дыры к центру Земли занял 3 минуты 17 секунд, скорость черной дыры в центре Земли достигла 75.1 км/с, а съела черная дыра за время полета 337 нанограммов вещества, причем львиная доля вещества поглощена с поверхности Земли. Неудивительно – в недрах планеты скорость черной дыры становится столь велика, что засасываемые атомы просто не успевают попасть внутрь черной дыры, она пролетает мимо много быстрее.

Итак, 14-килотонная черная дыра, сформированная путем тирьямпампации на поверхности Земли, будет летать туда-сюда сквозь Землю с периодом 13 минут 8 секунд (два полпути туда и два полпути обратно) и за каждый такой период она будет поглощать чуть более микрограмма вещества. Ясно, что процесс съедания Земли получается астрономически долгий.

Теперь посмотрим, как поведет себя более крупная черная дыра, величиной с протон и массой Rc2/2G = 877 мегатонн. Вбиваем в D2 число 8.77E11 и видим, что картина стала заметно лучше - за одно 13-минутное колебание абсолютный прирост массы черной дыры составляет 1.34 грамма.

Черная дыра величиной с атом водорода (7.9*10-11 м) и массой 5.32*1016 кг (пять Фобосов) поглощает за одно колебание 147 кг, черная дыра величиной с молекулу глюкозы (7*10-10м) и массой 2.36*1017 кг (22 Фобоса) поглощает за одно колебание 651 кг, черная дыра диаметром 1 микрометр и массой 3.73*1020 кг (1.5 астероида Паллада) поглощает за одно колебание 930 тонн, черная дыра диаметром 1 миллиметр и массой 3.73*1023 кг (45 масс Луны, 5.64% массы Земли) поглощает за одно колебание 930 килотонн.

А теперь финал и апофеоз: черная дыра земной массы в рамках рассматриваемой модели поглощает за 13 минут 16.4 мегатонн материи. При такой массе черной дыры Земля, естественно, не будет неподвижной, а будет колебаться в противофазе с черной дырой.

Временно закроем глаза на маразматичность ситуации и посмотрим, за сколько времени черная дыра полностью поглотит Землю. Рост черной дыры протекает экспоненциально, за 13 минут черная дыра увеличивает свою массу в 1.00000000000000276 раз. Посчитаем, за сколько времени черная дыра удвоит свою массу, т.е. полностью поглотит Землю. Открываем два калькулятора, в один загоняем число 1.00000000000000276, в другой – число 788 (13 минут 8 секунд). Первое число возводим в квадрат, второе удваиваем, повторяем обе операции до тех пор, пока первое число не превысит 2. С удивлением обнаруживаем, что поглощение Земли черной дырой занимает от 42 до 84 миллиардов лет.

Эта оценка, конечно, сильно завышена, но тот факт, что одним миллионом лет тут дело не обойдется, сомнений не вызывает.

Итак, вывод: поглощение планеты черной дырой – процесс астрономически долгий. Даже если масса черной дыры сравнима с массой поглощаемой планеты, этот процесс занимает миллионы и миллиарды лет. Аццкие ужасы, которые демонстрируют на некоторых сайтах, не имеют под собой никаких оснований.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

  • 6 comments